北京康利德建筑工程有限公司 FAJ: 追涨不可取，而止损第一条

　　炒股就看金麒麟分析师研报，泰斗，专科，实时，全面，助您挖掘后劲主题契机！

　　来源：北京金融分析师协会

　　* 此名堂由CFA Institute及CFA Society Beijing长入推出。

　　The Financial Analysts Journal 创刊于1945年，是CFA Institute主持的投资管束领域专科期刊。2020年，该刊位于社会科学引文索引（SSCI）二区。本中语推介名堂得到了FAJ裁剪部的授权。

　　FAJ： 追涨不可取，而止损第一条

　　Nonlinear Factor Returns in the US Equity Market

　　作家：Roger Clarke， Harindra de Silva， CFA， Steven Thorley， CFA

　　综述：刘冠群，CFA

　　审校：白雪石，CFA

　　原文连系：Financial Analyst Journal，Vol.80，Issue 3 （ 点击文末“阅读全文”可稽查 ）

　　保举语

　　本文由Ensign Peak Advisors前总裁Roger Clarke博士、Allspring Global Investments投资组合司理Harindra de Silva， CFA和Marriott商学院金融学荣休栽种Steven Thorley， CFA长入完成。

　　本文研究1964年至2023年间好意思股商场最大的1000支股票，按20年周期分为三组，要点分析最近20年的事迹阐扬。研究聚焦于价值、动量、小市值、低贝塔和盈利才气五个经典因子，进入非线性领域探索因子特征与风险调养后逾额收益之间的关系，以偏执在不同时期段上的结构变化。

　　盈利才气因子载荷最高和最低两头的股票，非线性纯化后信息比率更高。最近20年，具有一流盈利才气的股票在单元风险上所提供的主动收益高出那些位于中间段唯唯一般盈利才气的股票。在2004-2023年间，盈利才气因子是好意思股商场上阐扬最佳的因子，也哀吊线性收益特征最显赫的因子。长久来看，盈利才气因子也保抓了强健阐扬。

　　动量因子粗略提供的信息比率从1964年-1983年到2004年-2023年冉冉下跌。在第一个20年，动量因子载荷最高和最低的股票，其信息比率齐很强，尤其是在牛市；而在最近20年，牛市动量粗略提供的信息比率不再彰着，而熊市动量的信息比率依然很强，这意味着，追涨并不可取，但止损对于风险管束尽头必要。

　　低贝塔因子与风险调养后逾额收益的非线性关系，在因子正得分部分阐扬得更彰着。前两个20年里，低贝塔因子的信息比率齐很强健。进入第三个20年后，低贝塔因子的信息比率有所下跌。

　　价值因子与收益的关系最近还是阐扬为一条接近水平的平坦弧线，这意味着最近20年，从热点股到深度价值股，价值因子对于最终收益的确莫得影响。而“价值投资”理念一直在进化当中，价值投资并不等同于投资于价值因子。

　　小市值因子的收益弧线的非线性较为复杂，呈现为双拐点的弧线。对于中型股票，小市值因子粗略阐发较好的作用。但对于大型股和袖珍股，小市值因子是不起作用的，这意味着，不要低配超大市值的股票，也不要高配超小市值的股票。

　　本文让咱们对经典五因子的相识更为长远了，知谈了其上风和局限，愿投资者销毁教条，生动叮咛商场变化。

　　摘 要

　　咱们研究了五个股票商场因子的非线性收益与特征关系：价值、动量、小市值、低贝塔和盈利才气。咱们的研究使用了1964年至2023年间市值最大的1，000只好意思国股票的月度收益和特征数据，并要点照顾昔时20年的平均主动收益。除了粗略简化收益生成过程的建模之外，咱们发现并莫得事理去假定特征与证券收益之间存在线性关系。允许非线性关系的存在，不错提高因子组合的信息比率，这些组合在非线性走漏方靠近其他因子进行了中性化处理。 

　　要津词 股票商场因子，低贝塔，动量，非线性薪金分析，盈利才气，量化投资组合管束，小市值，价值因子

　　走漏 本文作家并未申报任何潜在的利益突破。

　　01 媒介

　　长久以来，从业者在尝试探索股票商场中的异象时，通俗假定因子与收益之间存在线性关系。但如果现实上因子关系哀吊线性的，那么在投资组合构建中假定线性关系就会导致次优结果。本次研究探讨了好意思国股票商场中五个知名因子的“纯化”版块在特征与收益关系中的非线性阐扬。咱们聚焦于最近20年（2004年至2023年）的样本，同期也研究了之前两个20年时期的数据，以展示异象的结构随时刻所发生的变化。为了确保价值、动量、小市值、低贝塔和盈利才气因子组合在其他四个因子方面是“纯化”的，咱们对股票之间特征与特征的关系进行了非线性调养。研究发现，盈利才气因子在股票间的收益阐扬出了高度的非线性，低贝塔组合中的逾额收益（alpha）相似呈现高度的非线性。而在最大的1，000只股票中，小市值因子收益的非线性阐扬较为复杂，并活着纪之交前后发生了变化。比较之下，在昔时20年中，盈利收益率的薪金是线性的，在通盘价值谱系中亦然平坦的。

　　个股在可投资的股票商场因子方面的特征通俗基于分拨给每只股票的管帐或统计策画。举例，小市值特征通俗以市值界限的对数来预计，并带有负号以捕捉“小”而非“大”的性情。对数调理提供了更接近正态分散的个股特征，但并未治理股票薪金与市值特征之间的线性关系。另一个流行的股票商场因子——价值因子——的预计策画通俗是股票市盈率（P/E）的倒数或盈利收益率。与早期Fama和French（1993）用账面市值比（book-to-market）预计价值雷同，使用倒数主若是为了比率的数学性情。具体来说，某些股票的市盈率由于莫得盈利或耗费而无法界说，且高市盈率和低市盈率的同等变化在经济上却并不等价。但是，除了粗略简化收益生成过程的建模之外，莫得事理假定盈利收益率或账面市值比与现实取得的证券薪金之间存在线性关系。

　　对于价钱动量的正负二分法已收受到了一些照顾，但对于在限度雷同价值和盈利才气等其他常见因子后，证券薪金与动量特征之间的非线性关系的研究却较为罕有。对于任何一个给定的因子，一个特征得分为2.0的股票，其平均主动薪金是否等于一个得分为1.0的股票的两倍？一个特征得分为-1.0的股票，其主动薪金是否为疏浚幅度的负值？De Boer（2020）、Zhang（2022）、Bollerslev、Patton和Quaedvlieg（2023）、Kagkadis等东谈主（2023）以及Didisheim等东谈主（2024）的研究为近期对于股票商场中非线性薪金的发现提供了配景复古。

　　本研究针对5个广为东谈主知的股票商场因子纯化版块的收益-特征关系中的非线性进行了系统性教练。研究数据集涵盖了1964年至2023年间每月市值最大的1000只好意思国股票，要点照顾最近20年（2004年至2023年）的数据。本研究收罗的特征数据是对于5个在时刻变迁中涌现的流行股票商场因子的特征数据：价值、动量、小市值、低贝塔和盈利才气。研究肇端日历和因子采选基于CRSP和Compustat数据库中至少1000只个股的全体收益和特征数据的可用性。咱们使用昔时一年的盈利收益率来预计价值因子，使用Carhart（1997）提倡的前一年收益率减去前一个月收益率的对数时事来预计动量因子，使用月初市值的负对数来预计小市值因子，使用1减去昔时36个月的标普500指数贝塔值来预计低贝塔因子。盈利才气因子的特征领受的是前一年的毛利率，由Novy-Marx（2013）提倡，并字据Clarke、de Silva和Thorley（2020）的模样进行了钞票调养，以适用于金融类股票。

　　价值因子和市值因子在学术文件中有着通俗的研究纪录，最早由Fama和French（1992）提倡，尽管咱们的不同是在于使用了从业者界说的盈利收益率而非账面市值比来算作价值因子策画。动量因子由Jegadeesh（1990）以及Jegadeesh和Titman（1993）引入，其不合称属性由Barroso和Santa-Clara（2015）进行了顾问，而Ehsani和Linnainmaa（2020）则探讨了动量因子与其他因子的关系。低贝塔异象隐含在早期的老本钞票订价模子（CAPM）研究中，并由于Frazzini和Pedersen（2014）的研究在频年来更为流行。咱们使用低贝塔算作“低波动”因子，它更精确而且具有与投资组协策划的特征。Novy-Marx（2013）将盈利才气因子引入学术文件。正如Hsu、Kalesnik和Kose（2019）所展示的，从业者所界说的“质料”开始取决于毛利率，因此对质料因子感意思的读者不错从盈利才气特征中推断出策划信息。

　　Sharpe（1964）以及Jensen、Black和Scholes（1972）提倡的基本平衡经济学表面开始提倡了这么一种理念，即那些与商场相对阐扬正策划的因子也势必代表了承担系统性风险所带来的薪金。相悖的，现在的大多数金融经济学家则战胜，具有显赫正向的长久阿尔法的因子是信息性或活动性的异象，这些异象尚未或无法被套利摒除，比如Shliefer和Vishney（1997）的研究。另一些东谈主则记念，部分历史结果是在“因子动物园”中数据挖掘的家具，这少量在Feng、Giglio和Xiu（2020）等研究中得到了探讨。咱们通过研究活着纪之交之前就已广受接待的因子来缓解过后数据挖掘的问题，并领受领先的原创学术研究者提倡的股票特征界说（除价值因子外）。

　　本研究紧要照顾的是股票间收益-特征关系的非线性，但咱们也探讨了股票间特征-特征关系的非线性。咱们申报了构建的最优单一因子纯化投资组合的事迹阐扬，这些组合剔除了与其他因子的线性和非线性关系。咱们的研究使用市值加权的Fama-Macbeth总结，提供了纯化组合收益的表格以及组合内收益-特征关系的非线性可视化展示。对质券收益与特征进行的月度横截面总结是多变量的，自愿的纳入系数五个因子，包括正交化的二次方和三次方特征项以捕捉非线性关系。此外，咱们还通过将每个因子的证券特征分为正负值以及有余值大于一的情况，界说了四个类别组合来教练非线性。咱们对非纯因子、线性纯因子和完全纯因子类别的结果进行比较，更好的相识了收益中非线性的来源。

　　在剔除特征-特征关系的非线性后，研究发现某些因子存在经济上和统计上齐很显赫的收益-特征非线性关系。最复杂的非线性平均收益模式出现在市值因子区间中，而在昔时20年里，毛利率和商场贝塔值在收益上也阐扬出非线性。在本研究中，市值敞口是在好意思国最大的1000只股票中相对而言的。在这个范围之外的股票流动性较低，市值的显赫性较小，因此被捣毁在分析之外。尽管之前有大齐的研究齐是对于动量因子的收益拐点，但动量因子纯化版块的收益-特征关系更接近线性。在昔时20年中，盈利才气因子不仅是阐扬最佳的因子，也哀吊线性收益特征最显赫的因子。缺憾的是，价值因子在通盘敞口范围内的平均收益接近于零。换句话说，昔时20年中，价值因子的收益呈线性但平坦，从热点股票到深度价值股票，价值因子的确莫得影响。

　　02 线性因子组合薪金

　　在这一末节中先容了贯串本文的计量经济学步骤，包括多元线性总结，随后展示了非线性三次总结的结果。Fama和MacBeth（1973）五因子线性总结模子的设定如下：

　　其中ri是从1到1000只股票一个月的证券薪金，sk，i是每月开动k=1到5各因子的特征分数。横截面总结的不雅测值按照月初证券市值进行加权，具体原因在本事附录中有详备讲明。方程（1）左侧的证券收益是主动收益，即相对于商场收益的各异收益，尽管使用总收益和截距项不会影响系数。使用总收益要在方程（1）中包含截距项c0，由于总结中的市值权重，截距项c0代表每月的商场组合收益。

　　方程（1）中的五组分值sk，i是圭臬化后的特征值，分别对应盈利收益率（即昔时市盈率的倒数）、对数价钱动量、市值的负对数、昔时36个月商场贝塔值的负数以及前一年的毛利率。这些特征值每月在横截面上齐是圭臬化的，圭臬化为加权均值为零、方差为一的变量，具体步骤如本事附录所述。为简化象征示意，方程（1）未加入时面前标t，因为每次横截面总结的敞口数据均取自一个特定时刻点，即每月的月初。加权总结的一个属性是，不错通过算计的系数推断出身成因子收益的投资组合中证券的组成。如本事附录所示，方程（1）中的算计系数代表了最优构建的单一因子投资组合的主动收益（即相对于商场的各异收益）。这些因子投资组合是完全投资的，主要由证券的多头头寸组成，与许多学术研究顶用于教练因子的多空组合有所不同。

　　与Fama-French立场的因子仅对市值特征进行部分中性化不同，本文中的五个纯单一因子投资组合对其他四个特征的线性和非线性敞口均进行了中性化处理，具体步骤如Clarke、de Silva和Thorley（2017）所述。在实践中，斥地在纯单一因子投资组合的多因子计策的确不包含作念空操作，因为每只证券的各个因子之间已相互对消，并减少了干涉到任一单一因子中的主动风险。因此，多因子投资组合不错是纯多头组合，或者在不显赫影响事迹阐扬的情况下被拘谨为纯多头组合。咱们捕捉了方程（1）中的月度投资组合收益或总结系数，然后基于已兑现的信息比率（IRs），使用系数圭臬差和经济显赫性进行统计推断，来总结出昔时20年（即120个月）中每个因子的平均收益。

　　表1申报了将方程（1）应用于2004年1月至2023年12月共120个月数据后的结果，其中第一列为商场收益减去同期无风险利率（一个月国库券利率）的逾额收益。表1中的月度收益进行了年化处理，将平均收益乘以12，将收益圭臬差乘以12的平方根。举例，第一列娇傲，昔时20年的平均逾额商场收益为9.33%，圭臬差为15.01%，夏普比率（均值除以圭臬差）为0.622。表1中其他五列的夏普比率是基于主动收益筹画的，不同于更常见的逾额收益除以逾额收益圭臬差的夏普比率界说。在接下来的五列中展示的纯主动收益，由于方程（1）中证券特征的圭臬化评分，对方针因子具有一个圭臬差的走漏，导致各因子之间的风险各异较显赫。举例，价值组合的主动收益圭臬差为2.56%，而动量组合的主动收益圭臬差的确翻倍，达到4.75%。

　　正如现在通俗报谈的那样，在昔时的二十年里价值因子组合的事迹阐扬还是的确不存在了，年化的薪金唯独-14个bps，如表1的第一转所示。

　　在并未经过对其他因子中性化处理的非纯化的价值组合（未展示）中，事迹阐扬更为灾祸。具体而言，仅将价值因子特征放在方程（1）右侧的非纯化价值因子的平均主动薪金为-0.75%，而纯化价值因子的平均主动薪金为-0.14%。非纯化的价值因子组合阐扬更差的一个原因是该因子特征与盈利才气因子特征之间存在负策划关系，而在昔时的20年间盈利才气因子阐扬很好。但通俗来说，正如信息比率所预计的那样，对于系数五个因子而言，非纯化的组合齐阐扬更差，原因是对其他因子的非中性化走漏导致薪金的圭臬差更高。

　　每个纯化因子组合现实兑现的主动商场贝塔值展示在表1的第4行。比如，价值因子组合的主动贝塔值为0.01，近乎于0，这意味着通盘组合的现实商场贝塔值为1.00+0.01=1.0，略略大于1。其他因子的总贝塔值也齐接近于1，除了自己想象上就倾向于低贝塔值股票的低贝塔值因子组合之外。在表1中低贝塔因子组合的商场贝塔值为1.00-0.25=0.75，该组合用主动薪金减去主动贝塔值与商场薪金乘积之差筹画的阿尔法，为1.2%。表1中其他的阿尔法筹画齐接近于该因子的平均主动薪金。举例，价值因子的阿尔法值为-22个bps，略低于-14个bps的平均薪金，这里面轻细的各异主要源于商场贝塔值略高于1。

　　表1的倒数第二行中展示的主动风险使用了现实商场贝塔值，换句话说，即阿尔法薪金的圭臬差。终末一转中每个因子的信息比率（IR）是用阿尔法除以主动风险筹画的。盈利才气因子组合的信息比率为0.592，的确是动量因子组合和低贝塔因子组合信息比率（分别为0.301和0.280）的两倍。与价值因子组合雷同，线性的小市值因子组合的阿尔法在昔时20年中略为负值，导致其信息比率为负。信息比率预计经济显赫性，而且最佳与其他因子信息比率的幅度进行比较来评估。为了教练阿尔法的统计显赫性，年化的信息比率不错乘以年数的平方根（本例中为20年），得到零假定（现实阿尔法为零）的t统计值。表1中纯线性盈利才气因子的阿尔法的t统计量为0.592乘以20的平方根≈2.6，因此具有显赫性（即大于2.0），而其他四个因子的t统计量标明其统计上不显赫。

　　一个最优的多因子投资组合不错以最大化组合的信息比率（IR）为方针，通过赋予单个因子纯化组合不同的权重来构建。正如Clarke、de Silva和Thorley（2020年）所述，在因子薪金不策划的假定下，这些权重与单因子投资组合的信息比率成正比。最优的五因子投资组合（未在表1中展示）的阿尔法为1.44%，主动风险为2.06%，信息比率为0.698。这一多因子组合的信息比率略低于用Sharpe信息比率近似公式（方程（2））筹画的0.729，这是由于表2中申报的现实薪金之间存在非零策划性。举例，尽管价值因子组合和盈利才气因子组合来自淹没线性总结，但两者的现实薪金策划性为-0.271。

　　薪金之间的时刻序列策划性低于由方程（1）生成的非纯因子投资组合（即仅在方程右侧使用一个得分集构建的投资组合）的策划性，但这些策划性并不为零。举例，非纯化价值因子组合和非纯化盈利才气因子组合之间的薪金策划性（未在表2中展示）为-0.312，而纯因子投资组合的策划性为-0.271。非纯投资组合之间策划性值最大的是盈利才气因子组合与小市值因子组合之间的-0.579，而表2中申报的纯因子投资组合的策划性为-0.248。表2中的策划系数有余值大于四个圭臬误差（即4 × （1/240）^（1/2） ≈ 0.258）的，用粗体娇傲来强调。

　　03 非线性因子组合薪金

　　因子组合里面的非线性薪金通过彭胀方程（1）来筹画，彭胀后的方程包括每个因子的特征得分的正交化平方和立方。非纯化单因子投资组合的总结模子设定如下：

　　其中，si是特征得分，si2是基于特征的平方项。如本事附录中所述，特征平方项与线性得分经过解析正交化处理，在横截面上不策划。特征立方项si3则同期与线性得分和特征平方项正交化。方程（3）中的平方项和立方项在正交化后再行进行得分处理，使其加权均值为零，加权方差为一。正交化过程提高了教练非线性薪金模式的精确性，因为如果不进行正交化，方程右端的变量之间会高度策划，从而导致现实投资组合薪金之间的策划性增大。具体来说，方程（3）中的斜率系数 λ1、 λ2 和 λ3不错通过三个单独的单变量总结等效算计。与方程（1）雷同，如果包含截距项，则截距项碰巧为零；如果在左侧使用总证券薪金，则截距项等于商场投资组合的薪金。

　　表3申报了一个雷同于方程（3）的总结结果，右侧包含15个变量，其中包括五个因子的特征得分偏执正交化后的平方项和立方项。为了简约空间，表3并未包含薪金的均值和圭臬差，但申报了表1中的其他行内容。举例，价值因子组合的纯线性得分系数的平均阿尔法为-32个基点，而特征平方项的阿尔法为36个基点，特征立方项的阿尔法为20个基点。在一个圭臬差走漏的拘谨要求下，三个价值因子投资组合的主动风险分别为2.47%、1.61%和1.58%，从而导致这三个价值因子组合的信息比率（IR）相对较小，分别为-0.128、0.225和0.127。

　　不错通过将每个因子的线性、平方和立方投资组合合并起来，构建一个过后最优非线性因子投资组合。表3中的“合并”列使用了每个因子的三个薪金列，并使其权重之和为±100%。合并投资组合中的权重接近于三个单独投资组合的夏普比率相对幅度乘以表4中申报的逆薪金策划系数矩阵。举例，价值因子的非线性投资组合薪金中，得分投资组合薪金的权重为-28%，平方投资组合薪金的权重为98%，立方投资组合薪金的权重为30%。然后，将合并后的非线性因子投资组合界限进行调养，使其与表1中相应线性投资组合的主动风险水平出奇。非线性价值因子组合中最大的孝顺来自于平方项，其合并非线性价值因子组合的信息比率（IR）为0.268。比较之下，非线性动量因子组合中最大的孝顺来自强方项，其信息比率为0.624。小界限因子的立方权重为-66%，平方权重为-33%，其合并非线性投资组合的信息比率为0.396。

　　表3中的低贝塔因子在立方组合（cubed portfolio）上有一个较大的权重，为-143%，而得分组合（score portfolio）的权重为50%，这使得合并非线性因子组合的信息比率（IR）达到0.457。非线性盈利才气组合结合了-88%的平方组合（squared portfolio）和-36%的立方组合，并由线性得分组合的24%对消，从而酿成了一个信息比率高达0.812的合并非线性盈利才气因子组合。换句话说，在昔时的20年里，非线性盈利才气因子组合兑现了2.45%的显赫阿尔法（alpha），而其主动风险（active risk）仅略高于3%。

　　对因子收益非线性的统计教练不错基于每个因子的平方项或立方项年化阿尔法的t统计量，其筹画步骤为信息比率（IR）乘以20年的平方根。举例，立方动量因子组合的t统计量为 0.544×201/2=2.4，而象征变化后的平方盈利才气因子组合的t统计量为 0.723×201/2=3.2。但是，对非线性的完好教练是基于非线性IR相对于线性IR的提高。

　　其中，IRnon 是表3中合并非线性组合的信息比率，而 IRlin 来自表1中线性组合的信息比率。举例，价值因子非线性的t统计量通过公式（4）筹画为 （（0.2682−0.0872）×20）1/2=1.2。对其他因子的完好非线性收益教练得出的t统计量分别为：动量因子的为2.4，小市值因子的为1.8，低贝塔因子的为2.4，盈利才气因子的为4.5。因此，动量因子组合和低贝塔因子组合的收益非线性在10%的显赫性水平上（即t统计量大于或等于2.0）具有统计显赫性，而盈利才气因子组合的非线性则具有高度显赫性。

　　表4申报了15个投资组合收益之间的时刻序列策划性，即公式（3）中的策划系数，但右侧变量为15个而非3个。与表2雷同，有余值大于4个圭臬误差（即0.258）的策划性被加粗以作强调。举例，价值因子的线性得分组合与立方项得分组合之间的策划性为-0.491，相对较大；小市值因子和盈利才气因子组合里面的两组策划性也较大。另一方面，低贝塔因子组合之间的策划性相对较小，但商场贝塔组合与平方项动量因子组合之间的策划性较大，为-0.406。尽管这些时刻序列的收益策划性还是相等显赫，但如果在运行月度横截面总结之前莫得对每个因子内的特征进行正交化处理，这些策划性会更高，某些情况下有余值可能达到0.700至0.800。如斯高的现实收益策划性使得难以笃定非线性因子组合中事迹阐扬的来源，也难以笃定最优组合中每个因子所需的权重。

　　“商场加15因子”Fama-Macbeth月度总结的结果不错通过多种神气可视化，但咱们开始从最优非线性因子组合相对于商场的阐扬开始。图1在主动投资空间（active space）中画图了五个合并非线性因子组合的阐扬，纵轴为阿尔法（alpha），横轴为主动风险（active risk）。每个组合阐扬的场地取决于其信息比率（IR）所对应的斜率，即结合图1中组合位置与零阿尔法、零主动风险点的直线斜率。举例，合并非线性价值因子组合的信息比率为0.268（如表3所示），而表1中线性价值组合的IR斜率为-0.087。非线性动量因子组合的信息比率为0.624，在图1中阐扬为右上角的组合位置，其主动风险与线性因子组合疏浚，均为4.71%，而线性因子组合的信息比率为0.301。

　　在图1中，小市值因子的信息比率从表1中的-0.068提高至表3中合并非线性组合的0.396，这一提高在经济真谛上是显赫的，尽管在统计真谛上可能不显赫。低贝塔因子和盈利才气因子的非线性组合信息比率分别为0.457和0.812，均优于其线性组合的阐扬。其中，非线性盈利才气组合的阿尔法约为2.5%，主动风险约为3.0%。图1还画图了一个多因子组合，该组合通过将各非线性因子组合的收益按其信息比率算作权重进行构建。这个五因子组合通过最优神气（即欺诈收益的交叉策划性）合并了五个非线性单因子组合的阐扬，其出色的阿尔法阐扬只略低于2.5%，主动风险约为2.0%，信息比率为1.191。比较之下，最优线性五因子组合的阿尔法略低于1.5%，且主动风险水平疏浚。现实筹画中，最优非线性五因子组合的信息比率为1.191，略低于公式（2）筹画出的Sharpe轨则近似值1.219，这是由于表4中申报的15个收益列之间存在非零的交叉策划性。

　　图2和图3的可视化为五个线性和非线性纯因子组合的实质提供了更多视角。图2画图了基于表1总结结果的五个线性因子的证券主动权重，以每只证券相对于商场组合权重的比率示意。图中每个证券的点字据其2023年年中的市值大小进行缩放，以体现Fama-Macbeth横截面总结中市值加权的影响。举例，线性小市值因子组合的证券权重跟着小市值得分呈线性下跌，其信息比率为表1中申报的-0.068。小市值特征线上最大的两个点代表苹果（Apple）和谷歌（Alphabet），标明在线性小市值因子组合中这些股票稍微超配。这两只股票在其他四个因子特征线中处于中间位置。

　　图2中的纵轴基于2004年至2023年的拟合非线性得分，经过缩放后，零点以上的点示意相对于商场组合的超配，零点以下的点示意相对于商场组合的低配。纵轴的调养领受了本事附录中顾问的因子组合关系：

　　其中，WM，i和 WP，i分别示意证券 i在商场组合和因子组合中的权重，si是圭臬化的因子特征。具体来说，拟合得分被调理为主动组合权重，即WP，i−WM，i再除以商场权重，或WP，i/WM，i−1。纵轴上的100%水平意味着主动权重是商场组合权重的两倍，而-100%水平示意主动权重为负且等于商场权重，即总权重为零。低于-100%水平的点示意在线性最优因子组合中作念空的证券。举例，在线性最优盈利才气因子组合的左端，有几只证券被作念空。

　　图2旨在展示对于各只证券的大齐信息，包括2023年年中圭臬化特征的横截面分散。举例，盈利才气因子的特征分散接近正态分散，很少有证券超出-2.0到2.0的范围。比较之下，价值因子的横截面分散中有许多证券超出两个圭臬差的范围，而两只最大的股票——苹果和谷歌——位于分散中心的左侧。由于公式（1）中单个总结不雅测值的市值加权，系数五个线性因子弧线齐在原点（即主动权重为零的位置）交叉。

　　图3与图2雷同，但展示的是表3终末一列中申报的最优非线性因子组合的阐扬。盈利才气因子的非线性收益呈向下抛物线体式，这主要基于平方项的高信息比率为-0.723，但其左侧尾部较为拖拉。非线性低贝塔因子的收益在得分高于约1.0（即商场贝塔尽头低的股票）时向下迤逦，而在图3左侧的高贝塔股票中则朝上迤逦，这基于表3中申报的线性特征信息比率为0.334，立方特征信息比率为-0.346。小市值因子在图3中的体式最为复杂，主要由于立方特征的信息比率为-0.332。最大的两只股票——苹果和谷歌——在非线性小市值组合中超配，而“七巨头”（Magnificent Seven）的权重较低，随后对其他993只股票的商场相对主动权重渐渐加多，但在得分约为1.0时（即最大1000只股票中最小的股票）开始下跌。需要扎眼的是，由于非线性函数的市值加权，图3中的弧线并未在零点交叉。动量因子呈向下抛物线体式，尽管右侧的下跌趋势较弱，同期对极值负动量股票进行了作念空。价值因子主要呈线性且比图2中向下的斜率更笔陡，但对于那些盈利收益率极高（即市盈率极低）的被称为“深度价值”（deep value）的股票，非线性价值因子弧线在图3中转为朝上迤逦。

　　将表3中的总结结果可视化展示的另一种神气是画图图4中系数15个组合的积累阿尔法，其中“2”代表平方特征组合，“3”代表立方特征组合。每个组合的月度阿尔法在2003年至2023年的20年间进行积累，每个阿尔法齐被调养至过后3.00%的主动风险水平，以便在组合之间进行平直比较。图中盈利因子1组合在将年化风险调养后得到的阿尔法为38.25%除以20年，即1.91%，这改革为表3第一列底部给出的高信息比率（IR）1.91/3.00 = 0.638。图中下半部负数部分中更令东谈主印象长远的积累阿尔法来自盈利因子 2组合，其改革为表3第二列底部申报的信息比率-0.723 。这两个盈利才气因子组合的大幅正收益和大幅负收益的结合导致了图3中非线性盈利才气因子收益呈现向下的抛物线体式，而立方特征的额外孝顺使得左侧的下跌斜率较为拖拉。

　　图4中次高的积累阿尔法是动量因子3组合，约为33%，自后是低贝塔因子 1和动量因子 1组合，均以约20%落幕。图4底部也娇傲了较大的积累阿尔法（不管是正照旧负），出奇是动量因子2、小市值因子3和低贝塔因子3组合，均以约-20%落幕。这些组合对应的平方动量因子、立方小市值因子和立方低贝塔因子的信息比率分别为-0.306、-0.332和-0.346，如表3所示。积累阿尔法偏执相应的信息比率并未完全传达任何给定非线性因子组合的合并影响，因为三部分之间的收益策划性不为零。举例，表4中盈利才气因子1和盈利才气因子2的收益之间存在较大的负策划性（-0.497），在图4中阐扬得很直不雅，这两条弧线在2008年末之后的走势相悖。

　　咱们还不错使用15变量版块的公式（3）进行月度Fama-Macbeth总结，画图比图3更精确的非线性主动收益模式。针对模拟股票的拟合主动收益每月齐会生成，这些模拟股票在方针因子上的得分为-2.0到2.0之间，而其他四个因子的得分固定为零。然后，将2004年至2023年时期的240个拟合收益不雅测值在时刻上取平均，并使用年化时刻序列收益的圭臬差来预计每个得分点的风险，再除以240的平方根，为平均值提供圭臬误差。图5画图了每个因子从得分-2.0到2.0的平均主动收益。举例，非线性小市值因子呈现出与图3疏浚的双误解体式，而低贝塔因子弧线在右侧下跌，盈利才气因子弧线在左下角显赫非线性下跌，这些弧线均与图3中的体式雷同。值得扎眼的是，2004年至2023年间价值因子的拟合平均收益在图5中呈现为一条的确完全贴着横轴的平坦弧线。

　　图6使用了与图5疏浚的240个拟合收益，但画图了在方针因子每个得分点上的主动收益风险，同期将其他四个因子的得分固定为零。对于价值因子，主动风险在负得分和正得分两侧基本呈线性且对称，但对于低贝塔因子，正得分的风险略高于负得分；而对于动量因子、盈利才气因子，尤其是小市值因子，风险在得分较低的一端更高。举例，小界限因子在得分为1.0和-1.0时的风险约为5%，但对于得分约为-2.0的超大盘股，风险约为22%，是得分为2.0的最小股票风险（约7%）的三倍以上。

　　CRSP和Compustat数据库允许咱们研究粗略至少1000只好意思国股票，这些股票的特征数据完好且可追忆至1964年4月。为了涵盖完好的60年商场历史，咱们将样本彭胀至1964年1月至3月，尽管这三个月的横截面股票数目唯独900多只。咱们领先采选将通盘样天职为三个20年周期，是为了在相对较长的二十年时刻区间内拟合平均收益，同期允许商场动态随时刻变化。事实上，240个月度策划系数平均值的背后有个要津假定，等于商场和异象结构在20年内保抓一定的富厚性。

　　在本节的落幕，咱们简要纪念一下之前两个20年时刻段，雷同于图4的积累阿尔法图以及雷同于图5和图6的平均主动收益和风险图被收录于在线的前期图表附录中。这些图允许对因子收益结构在似乎发生变化时进行主不雅的（即非统计严格的）不雅察。迄今为止，在前两个时刻段中阐扬最佳的组合是基于盈利收益率预计的价值因子组合。频年来，对于价值因子调谢的顾问好多，尽管历史上它曾是五个因子中阐扬最佳的，但明确的给出一个“价值因子牺牲”的日历则是主不雅的。价值因子组合的阐扬活着纪之交出现了一次爆发，随后在2008年金融危险之前有较小的增量阐扬，但自此之后纯价值因子一直处于下跌趋势。与图5雷同的价值因子平均收益图在前两个20年时刻段中主要呈线性，但齐有强健的上涨斜率。

　　在线前期图表附录中另一个值得扎眼的视觉变化是，小市值因子1组合的弧线在1999年傍边从下跌变为上涨。在1984年至2003年中期，小市值因子的主动收益呈现出双误解体式，如图5所示，但其体式在垂直方朝上翻转，使得弧线在左侧下跌。盈利才气因子的非线性模式也与最近20年不同，其大部分升值来自具有正盈利才气得分的股票，而不是低配那些得分为负但平均主动收益为正的股票。1984年至2003年的低贝塔因子弧线相等线性且平坦，但在筹商传统CAPM（老本钞票订价模子）中低贝塔版块的证券商场线（SML）向下歪斜后，低贝塔的阿尔法仍然是高的。意思意思的是，与图5雷同，大多数因子的主动收益在1964年早期至1983年间通俗更为线性，除了低贝塔异象之外，其在低贝塔侧（即较大的低贝塔正分）遵照预期中的向下歪斜的SML弧线，但在高贝塔侧则否则。

　　04 证券特征之间的非线性关系

　　在本节中，咱们研究了股票之间非线性的特征-特征成对关系。尽管每个因子的非线性收益-特征模式是本次研究的要点，纪录特征之间的非线性关系则促使了在加权Fama-Macbeth总结中包含月初的平方和立方特征。为了构建每个因子的纯化非线性组合，需要在公式（3）中包含其他因子的平方和立方特征。图7和图8展示了当前（即2023年年中）使用横截面总结得出的盈利收益率与其他四个特征之间的关系。

　　其中，Sk，i示意股票 i在因子 k 上的得分特征。为了分析线性关系，公式（6）中k=2到5 的应用仅包含盈利收益率得分S1，i。与公式（1）雷同，由于市值加权，单变量总结中的算计截距项 γ0 碰巧为零。图7将这四个成对总结的拟合得分画图在纵轴上，而盈利收益率得分画图在横轴上。这些线由每只股票的单点组成，许多点超出了-2.0到2.0的得分范围，这是基于盈利收益率特征在股票中的分散而成。

　　图7中最大的线性关系是盈利收益率与毛利率之间的负策划关系，标明咫尺较高的管帐毛利率通俗出现在盈利收益率较低的股票中。另一方面，盈利收益率与低贝塔特征呈正策划，标明咫尺高收益股票通常具有较低的商场贝塔值。图8与图7雷同，但公式（6）的右侧包含了平方项和立方项。在公式（6）中，立方得分和平方得分不错正交化，但并未正交化，因为在本节中咱们照顾的是全体拟合效果，而非单个策划系数。

　　图8中盈利收益率与毛利率敞口之间的关系呈现高度非线性，咫尺最高的毛利率出现在盈利收益率中等范围的股票中。统计教练标明，在大多数月份中的大多数因子配对，线性假定齐在高显赫性水平上被绝交，出奇是公式（6）的平方项和立方项的系数长入为零的F教练。图8娇傲，当前（即2023年年中）盈利收益率相对于价钱动量因子、低贝塔因子和毛利率的关系呈凹形。意思意思的是，盈利收益率相对于小市值特征呈凸形，但抛物线的体式在右侧趋于平坦。

　　图9捕捉了毛利率而不是盈利收益率与其他四个特征之间当前的线性关系。需要扎眼的是，毛利率的横截面分散呈现正偏态，具有长右尾，这不错从图9右侧的散点图中看出，但莫得散点低于−2.0。盈利收益率的拟合线呈负斜率，这再次证明了图7中这两组走漏之间的负策划关系。与毛利率线性策划性最强的是小市值特征，策划系数为−0.335，最拟合线性位于特征得分为1.0的位置。

　　图10画图了毛利率与其他四个因子之间当前的非线性关系，雷同于图8中盈利收益率的关系。其中价钱动量因子和小市值因子两个拟合图具有显赫的立方项，导致弧线形态更为复杂，而与低贝塔特征的关系则相对线性。换句话说，在2023年，公式（6）右侧的商场贝塔的平方项和立方项相对齐不那么伏击。毛利率与盈利收益率的关系具有显赫的二次方关系，但莫得三次方系数，这与图8中盈利收益率对毛利率的反向图一致，因此图10中的盈利收益率弧线仅有一个拐点。

　　股票之间的非线性特征-特征关系会跟着时刻的推移渐渐变化，就像更为东谈主熟知的线性关系（即策划系数）一样。具体来说，与20年前（即2003年年中）的商场比较，从疏浚时期点的不雅察视角来看，如今任何一双因子走漏之间的关系齐的确莫得任何相似之处，如图8和图10所示。为了讲明特征间关系的动态实质，咱们在图11中聚焦于昔时60年毛利率的浮浅线性策划性。通俗与毛利率呈负策划的盈利收益率，其策划系数近几十年来在0.2到−0.2之间波动。当下（即2023年底），该策划性稍微为负，这再次证明了图9中的负斜率关系，但在20世纪70年代末，这个策划性要大得多，约为−0.6。

　　如图11所示，毛利率在股票间通俗与小市值特征呈负策划，这意味着市值界限较大的股票通常具有更高的财务管帐毛利率。但是，当前的策划性接近−0.4，是这60年历史中迄今为止最大的数值。换句话说，盈利才气因子走漏（通俗被模样为与股票间的价值因子走漏的确相悖）在当前商场中与小市值因子特征的负策划性更强。毛利率特征或其他任何特征与价钱动量因子的策划性在不同股票间是不富厚的，因为动量因子特征的界说每年齐会因每只股票的变化而不同。图11娇傲，近几十年来毛利率与低贝塔特征的策划性在0.2傍边波动，但在20世纪70年代末和80年代曾达到−0.3。

　　雷同于图11的其他图不错展示如小市值特征与其他四个因子之间的线性关系，以及各式非线性关系。但这些图齐指向淹没个实证论断：因子走漏之间的两两关系既哀吊线性的，亦然随时刻动态变化的。在股票因子研究中，对于一组特征与另一组特征之间呈现或正策划或负策划的申报，齐应被视为特定时刻点的论断，而不是商场结构的长久性模样。

　　05 因子组合的类别阐扬

　　在这一末节中，咱们使用一种不同的步骤来纪录因子投资组合中的非线性阐扬模式。与多元总结不同，咱们通过构建基于因子得分的投资组合类别来研究收益与特征之间的非线性关系。将原始特征调理为得分是一个熟谙且被通俗接受的历程，具体步骤是减去系数N只（举例1，000只）证券的横截面均值，再除以横截面方差。在本研究中，咱们使用了基准锚定的均值和方差，这意味着在筹画均值和方差时领受的是期初的商场权重。如本事附录中所述，将K组（举例5组）因子走漏相对于其他K−1组走漏进行同步正交化，需要使用矩阵代数抒发式：

　　其中，S 是一个 N×K 的纯得分矩阵，WM 是一个商场权重向量，B是一个 N×K 的走漏矩阵，其中每个走漏值齐减去了其加权平均值。从见识上讲，公式（7）右侧的矩阵 B通过方括号中娇傲的逆加权协方差矩阵调理为矩阵 S。需要扎眼的是，正交化后，由于特搜集之间的非零策划性，得分必须再行调养为单元方差。

　　本文比较 Clarke、de Silva 和 Thorley（2017）的研究的改革之处在于，平方和立方特征被包含在矩阵 B 中，这使得矩阵 B 的列数从5列加多到15列，而输出矩阵 S 的前5列是完全纯化的得分。如本事附录中所述，表述平方和立方特征的列在分析上被正交化，相对于得分列以及相互之间平分别兑现了正交化，这与总结应用中的步骤雷同。咱们将非纯得分界说为未通过公式（7）调养的圭臬化特征，将线性纯得分界说为矩阵 B 为5列时输出矩阵 S 的得分，将完全纯得分界说为矩阵 B 为15列时输出矩阵 S 的前5列得分。

　　对于系数三种类型的得分——非纯得分、线性纯得分和完全纯得分——构建因子投资组合的权重筹画神气尽头浮浅，

　　其中，wMi是商场权重，wPi是投资组合中第i只证券（i从1到N）的主动（即商场各异）权重。从见识上讲，公式（8）中的得分将商场投资组合权重调理为主动因子投资组合权重，这些权重的总额为零，而不是一。如本事附录中的顾问，在“商场加一个主动因子”的收益生成过程以及特点风险均为同等水平的假定下，通过公式（8）构建的单因子投资组合是均值-方差最优的。投资组合的收益通过以下乞降公式每月筹画：

　　其中ri是证券薪金。

　　在方程（9）上钩算的组合薪金是主动的，意味着与商场薪金的各异，而且在经过了不等于1的商场贝塔额外调养（扫视3所述）后用以预计因子的阐扬。用方程（8）构建的因子组合并非纯多头组合，因为走漏得分小于-1的证券其实是作念空的。构建严格的多头投资组合会去除因子走漏较低的一端，从而简陋了对收益与因子走漏之间非线性关系的研究。这类投资组合通俗被称为120/20多空组合，意味着投资组合形状资金量的20%由作念空头寸提供融资进行多头投资。与之前章节中基于总结系数的投资组合收益雷同，用于作念空的现实老本量会由于因子和时刻段的不同而在约10%到30%之间波动。

　　表5的第一列申报了每个子时期内完全纯价值因子投资组合的总alpha，随后是包含了因子走漏得分在−1、0和1之间的证券的特征类别。具体来说，四个类别收益是将方程（9）中的总投资组合主动薪金分散后的要求乞降，即：

　　其他三个类别中乞降的要求分别是得分范围在−1.0到0.0之间（低配类别）、0.0到1.0之间（超配类别）以及大于1.0（大幅超配类别）。这些类别自己是证券的权重由得分乘以市值决定、但未调养为完全投资的投资组合。这确保了总投资组合的alpha是四个类别投资组合alpha的浮浅加总，不外如果每个投资组合除以该类别的每月证券市值权重总额的情况下，这一属性将不树立。

　　咱们为这四个类别赋予了因子特定的称呼，这些称呼借用了当前投资管束中与走漏范围策划的术语：对于盈利收益率类别，分别为热点股（得分小于−1）、不菲股（−1到0）、浅价值股（0到1）和深度价值股（得分大于1）。表5中娇傲的2004年至2023年最近20年间价值投资组合唯独−31个基点的alpha，将其理解后得到的类别alpha也很小，分别为14、−5、5和−45个基点，这意味着价值因子走漏谱系内存在线性关系。正如第一末节中使用Fama-Macbeth横截面总结所纪录的那样，在昔时20年中，价值因子谱系内的任何部分均未显赫优于或劣于商场投资组合。天然不错创建更多类别（举例五分位或十分位投资组合），并在每个类别中保抓疏浚的老本化比例，但与商场投资组合比较超配和低配证券的天然分界线仍然是0。雷同的，−1是低配而且在全谱单因子投资组合中被作念空的证券的分界线。

　　表5还申报了每个类别的主动风险和信息比率（IR）。需要扎眼的是，即使在收益与特征成线性关系的假定下，由于尾部类别（举例表5中的热点股和深度价值股）的因子走漏更大，其alpha和主动风险的数值在有余值上也更大。在特征的横截面分散为完全正态分散的情况下，平均走漏值分别为−1.53、−0.46、0.46和1.53。因此，一般教学法规是，尾部类别的alpha和主动风险是中间类别的3倍（即1.53与0.46比较），因为它们的因子走漏大致是中间类别的三倍。举例，热点股类别的主动风险为1.55%，大致是不菲股类别主动风险0.53%的三倍。另一方面，通过alpha除以主动风险筹画的信息比率（IR）在各个类别之间具有平直可比性。

　　表6申报了表5中价值因子的信息比率（IR），以及本研究中其他四个因子的类别信息比率。表6中的因子投资组合是将完全纯得分应用于公式（8）构建而成的。对于20年年化信息比率使用1/201/2 ≈ 0.224的圭臬误差轨则，相邻类别的信息比率在各异达到两个圭臬误差（即t统计量大于或等于2.0）时标记为小于（<）或大于（>）。在较早的价值投资组合收益中，统计上最显赫的非线性特征是中间类别的信息比率优于尾部类别的信息比率，四对中有三对显赫不同。但这种价值类别的非线性在最近20年中隐匿了，除了深度价值类别的信息比率为−0.327外，莫得出现较大的信息比率。表6中的动量因子结果也证实了总结分析发现的最近20年时期阐扬下跌的趋势，信息比率仅为0.352，而前边两个20年时期的信息比率分别为1.165和0.593。在第一个20年时期（1964年至1983年），动量因子的阐扬在尾部更强，尤其是在正动量侧，牛市类别的信息比率为0.975。这一特征在随后的20年时期（1984年至2003年）在负动量侧更为彰着。在最近的20年时期（2004年至2023年），熊市和负动量类别之间的信息比率各异具有最高的统计显赫性。

　　表6接下来申报了纯小市值因子的阐扬，其中现在流行的“大盘股”（mega-cap）术语与因子走漏得分低于−1的股票策划联。其他三个类别包含好意思国商场中最大1，000只股票中较大、中等和较小市值的股票。通俗被称为小盘股的股票（举例罗素2000指数中的股票）未包含在本研究中，因此“小市值”是相对于咱们我方的数据集而言的，更接近于罗素1000指数股票。在第一个20年时期（1964年至1983年），字据此界说的小市值因子阐扬精良，信息比率为0.417。但是，在中间的20年时期，信息比率下跌至0.118，这是由于中间类别的信息比率为负，尤其是低配较大市值股票的信息比率为−0.256。然后在最近的20年时期（2004年至2023年），作念空大盘股类别变得不利，信息比率为−0.133，而低配较大市值股票则变得成心可图，信息比率为0.289。比较于1984年2003年的二十年间，小市值的类别阐扬在昔时20年（2004年至2023年）间的非线性模式发生了显赫翻转：大盘股类别的信息比率从0.249下跌至−0.133，而较大市值类别的信息比率从−0.256上涨至0.289。

　　表6接下来申报了低贝塔因子的阐扬，其中圭臬化因子走漏得分小于−1.0的类别为超高贝塔类别，之后递次为高贝塔、低贝塔和最低贝塔，最低贝塔类别则是因子走漏得分大于1.0的类别。现实全体商场贝塔值的范围处于从低贝塔因子走漏范围的低端约1.2到走漏范围的高端约0.8之间。证券间的36个月历史贝塔特征范围略宽，从约0.6到1.4。换言之，证券贝塔值在现实值与预计值之间呈现出了出人所共知的向1减轻的气候，这一气候通俗被称为Scholes和Williams（1977）修正。

　　在前两个20年时期，低贝塔因子的强健信息比率阐扬引发了早期对经典老本钞票订价模子（CAPM）测试的困惑。用咱们的术语来说，CAPM预计低贝塔因子的信息比率应为零，但1984年至2003年的信息比率为0.521，比零越过两个圭臬误差以上。从1964年至1983年实证不雅察到的纯证券商场线（SML）不仅过于平坦，致使出现了荒谬。在第一个和第二个20年时期，各类别的信息比率标明，经典CAPM模子在实证上的失败在商场贝塔因子范围内通俗出现，但在1964年至1983年时期，最低贝塔尾部类别的各异尤为显赫。

　　表6标明，与价值因子不同，盈利才气因子长久以来保抓了强健的阐扬，其总因子信息比率从第一个20年时期的0.520加多到0.595，然后在最近的2004年至2023年时期进一步上涨至0.661。除了早期的1964年至1983年时期外，盈利才气因子最一致的非线性不雅察结果是信息比率阐扬聚合在尾部类别，举例最近20年时期的0.753和0.466，而中间类别的信息比率分别为0.164和0.027。这种非线性模式与表3底部展示的盈利才气因子特征平方项的信息比率为较大的负数，即−0.723，以及非线性盈利才气因子在图3中呈现向下抛物线体式的阐扬一致。

　　接下来，咱们探讨了使用非纯得分、线性纯得分和完全纯得分对每个因子进行线性和非线性因子投资组合纯化处理的影响。表6仅申报了完全纯得分的结果，而表7为了简约空间只包含了最近20年的数据。具体来说，表7的第一部分申报了使用浮浅得分特征构建的投资组合，而结果娇傲信息比率较低，正如Clarke、de Silva和Thorley（2017）所申报的那样。举例，2004年至2023年时期的总盈利才气因子信息比率从表6中的0.661下跌到表7中的0.595。表7第一部分中的确系数因子的总信息比率齐较低，这是因为未中性化的因子投资组合受到其他因子走漏的玷辱，加多了主动风险，但并未加多阿尔法。在某些情况下，信息比率的下跌还源自于未中性化走漏导致的阿尔法下跌，从而导致与其他因子的现实收益的策划性更高。

　　表7中每个总投资组合列末尾的多因子信息比率是通过Sharpe的信息比率轨则（如公式（2）所示）筹画出来的，预计了系数五个投资组合的概述影响。总体发现是，跟着投资组合纯度的提高，从非纯得分到线性纯得分，再到表7终末部分的完全纯得分，组合阐扬也会冉冉提高。通过中性化因子之间的线性特征关系，多因子信息比率从0.724加多到0.777，加多了0.053；通过进一步中性化非线性关系，多因子信息比率从0.777加多到0.851，进一步加多了0.074。表7还标明，动量因子和低贝塔因子信息比率的提高主要来自线性纯化，而盈利才气因子信息比率的提高主要来自非线性纯化。

　　在表7底部部分，前边也顾问过的盈利才气因子阐扬在尾部类别聚积的气候，在表7中间部分的线性纯得分中不太彰着，而在非纯得分构建中的确不存在，因为在双方的尾部类别和中间类别的信息比率齐的确出奇。在昔时20年中，小市值因子类别也娇傲出显赫变化，低配类别（在表6中称为较大市值类别）的信息比率从完全纯得分的0.289下跌到线性纯得分的0.112，再到非纯得分的−0.125。表7标明，小市值因子和盈利才气因子投资组合的收益非线性在对其他因子的线性和非线性走漏进行中性化处理后更为彰着。

　　06 非线性收益的其他应用

　　本文研究聚焦于流行的股票商场因子的平均非线性收益与特征关系。咱们通过在20年的时期内拟合收益，纪录下了大多数因子在统计和经济上均具有显赫的非线性结构。昔时，学术研究东谈主员使用疏浚的过后平均收益分析来斥地线性因子的阐扬，但样本内的拟合并不可平直治理收益可预计性的问题。Fama和French通过研究在较永劫刻内所兑现的平均股票收益，引起了东谈主们对线性价值因子和小市值因子的照顾。采选账面市值比和对数市值特征并非由经济表面驱动，它们仅仅单纯反应了价值因子与市值因子算作好意思国股票商场伏击属性的广漠领略，举例20世纪90年代引入的驰名的晨星3×3图表所示。

　　事实上，唯一由平衡经济表面驱动而非过后发现的因子特征是商场贝塔因子，而经典老本钞票订价模子（CAPM）的预计结果却短缺实证复古。具体来说，高贝塔股票并未被发现具有更高的平均收益，而是与低贝塔股票的收益大致疏浚，这一气候现在被称为低贝塔异象。相似，本研究通过过后分析60年的收益数据，标明大多数因子在特征上具有非线性收益。本研究并未平直治理样本外的收益预计问题，尽管基于非线性模式的强度和抓续性来看，这一场地具有后劲。咱们曾尝试使用昔时10年的非线性收益模式进行月度投资组合收益的预计，结果明确娇傲其阐扬优于线性预计，同期也探讨了如今被称为“因子动量”的步骤（如Ehsani和Linnainmaa（2020）所顾问的），即使用之前三个月的收益进行预计。但是，对于平直非线性收益预计的申报超出了本文的范围。

　　本文也未触及多因子投资组系数策的绩效归因。具体来说，不错设思一个过程，其中某个月的收益不仅不错由线性的价值因子、盈利才气因子和市值因子组合的阐扬解释，还不错由诸如深度价值、高盈利才气和大盘股等类别投资组合的收益来解释。事实上，商场不雅察者频频通过大盘股的阐扬来总结逐日或每月的商场阐扬，还不错通过将大盘股算作诬捏变量进行建模。对于具有显赫非线性收益的因子，主动计策的现实阐扬天然更多地由四个类别收益而非单一投资组合收益解释。绩效归因还不错通过加入特征的平方项和立方项来提高，如第一末节中月度Fama-Macbeth横截面总结所示。天然非线性绩效归因超出了本文的范围，但咱们简要驳倒了使用R平方统计量解释现实证券收益的横截面各异的传统学术方针。

　　图12画图了本研究中整整60年时期出自包含5个右侧变量的方程（1）和商场加15个变量版块的方程（3）滚动36个月的R平方值。线性与立方项R平方图还与基于公式（1）的局部加权散点平滑总结（LOESS）的R平方图进行了对比，LOESS总结是一种允许证券收益与特征之间非线性关系领受非参数时事的步骤。

　　立方总结和LOESS总结这两种建模非线性收益的步骤在36个月滚动R平方值上的确带来了疏浚的提高，如图12所示，立方总结和LOESS总结的弧线高度重复。跟着时刻的推移，这两种非线性收益步骤齐使R平方值提高了约6个百分点，尽管频年来与线性R平方值的各异已扩大至约10个百分点，如图右侧所示。具体来说，摈弃2023年底，LOESS总结和立方总结的R平方值分别为29%和26%，而线性R平方值仅为19%。

　　学术文件中还是发表了大齐通过加多额外因子特征来提高解释力的研究，某些研究中R平方值致使提高至30%或40%。图12中的结果标明，允许这五个流行因子的非线性，作用比加多一个致使几个不太常用的因子要大得多。雷同的，交易风险模子提供商还是开始加入平方项和立方项，出奇是针对市值因子特征。

　　07 选录与论断

　　非线性因子关系对投资者和投资组合司理的启示是伏击且多方面的。通过不啻是用其线性因子特征来加权证券，同期也使用横截面总结中正交化的平方和立方因子特征给出的非线性模式进行加权，投资组合的事迹阐扬得到了提高。表3纪录了某些单因子和包含了非线性平均收益模式的多因子计策中信息比率（IR）的显赫提高，在图3和图5中进行了可视化呈现。举例，昔时20年中线性盈利才气投资组合的阿尔法还是高达1.79%，而在疏浚主动风险水平下，非线性盈利才气投资组合的阿尔法进一步加多了66个基点，达到2.45%。另一方面，对于阐扬欠安的价值因子，除了确保投资者构建纯价值因子投资组合以幸免其与阐扬优异的盈利才气因子高度负策划外，似乎莫得太多可作念的。基于最大1，000只股票中非线性模式的小市值因子的更新版块阐扬更好，它低配较大市值股票但不低配大盘股，同期超配较小市值股票但不超配最小市值股票。

　　天然咱们的研究步骤比较用线性版块去探索广为东谈主知的商场异象更复杂一些，但本文的正文和本事附录提供了将非线性分析纳入投资组合构建的步骤。其他研究东谈主员曾经使用过平方和立方特征来探索收益中的非线性。咱们更精确的论断正来自于咱们的步骤改革，即领受与线性股票特征正交化的平方和立方得分。非线性投资组系数策还受到论文中申报的因子特征类别的启发，推进了诬捏变量或分段线性总结分析及投资组合构建。对于量化分析师来说，最浮浅的操作可能是在其线性股票特征列表中特意加入市值因子的对数立方项和毛利率因子的平方项。

　　激勉本文研究的问题是：具有2.0得分特征的股票是否粗略平均兑现两倍于唯独1.0得分特征股票的主动收益，以及具有-1.0得分走漏的股票是否粗略平均兑现与得分1.0的股票疏浚幅度的负主动收益。对于本研究中五个流行因子中的四个，纯因子投资组合的谜底是含糊的。除了对非线性因子投资组合构建的影响外，本次研究结果还标明，在因子走漏谱系的某一部分加多主动权重与在谱系上转移的影响不尽疏浚。举例，在低贝塔异象中，通过减抓贝塔略高的股票所带来的投资组合薪金变化，与减抓贝塔更高的股票的结果并不疏浚。低配主动贝塔（即相对于1的各异）为1.0的股票对投资组合薪金的影响，与超配主动贝塔为-1.0的股票并不疏浚。在低贝塔和其他因子投资组合中，主动收益的底层来源可能会因假定的（且通俗未明说的）因子走漏的线性外推而被严重误判。

　　除了发现四种流行因子的非线性收益-特征模式这一基本论断外，本研究还标明，由于高度显赫的非线性成对的特征-特征模式会跟着时刻渐渐变化，因此不仅需要对因子走漏进行线性纯化，还需要进行非线性纯化。表7聚焦于昔时20年的数据，标明了摒除非线性关系带来的多因子组合事迹阐扬的增量提高比摒除浮浅的线性关系系数模式带来的增量更大，尤其是对于盈利才气因子而言。咱们对非线性收益的研究申报了在横截面股票统计中锚定比较基准的必要性，如因子走漏、圭臬差和策划性，正如在人所共知的加权筹画投资组合收益那样。基准锚定促使咱们使用市值加权的月度Fama-Macbeth总结，而不是等权总结，因为等权总结产生的策划系数哀吊最优投资组合的，生成的收益亦然相对于等权全商场组合而言的，而非与商场基准比较较的主动收益。等权总结的结果是由占股票样本80%但市值占比仅为20%的小盘股驱动的。

　　咱们提到了但并未完全探讨非线性收益预计和事迹归因的问题。交易风险模子还是为某些因子引入了平方和立方特征，但非线性事迹归因只在媒体和分析师对因子阐扬的报谈中好景不长。举例，对好意思国股票商场阐扬的逐日和月度模样中，时常齐会将超大市值股票或“七巨头”算作颓唐的解释身分进行点评，并莫得对市值谱系的其他部分进行线性外推。雷同的，分析师和主动投资组合司答理酌量深度价值或魔力股计策，这些计策与中段价值谱系的浮浅线性外推截然有异。如图12所示，事迹归因不错显赫校正，R平方值的加多解释了这少量。当东谈主们刚劲到对于流行因子存在非线性的薪金-因子走漏模式时，咱们也会看到更好的商场点评。

　　咱们对于进一步推行“因子动物园”有所彷徨，咱们扎眼到，20世纪90年代学术研究东谈主员识别和强调的因子仅限于那些具有长久线性阐扬纪录的因子。举例，在那时广漠使用的线性研究步骤下，那些具有浓烈非线性长久阐扬的垂直向下或朝上抛物线平均收益股票特征，是无法被识别的。对于咱们对于好意思国股票薪金的一个伏击拓展将是基于和因子组合谱系一致的非线性模式进行收益预计的步骤。其他问题则需要将本文概述的非线性因子收益分析彭胀到海外股票商场。CRSP和Compustat数据库仅涵盖全球公开股票商场一半傍边的数据。咱们预期其他研究东谈主员会将咱们的步骤（包括使用正交化平方和立方特征的加权Fama-Macbeth总结）应用于欧洲和亚洲商场。在好意思国除外的商场里非线性的纯价值因子是否还有存在感？阐扬优异的纯盈利才气因子和低贝塔因子在全球商场中是否仍然具有疏浚的非线性性情？

　　*本文出奇感谢阳光保障的郭亮博士提供本事指令。

　　Financial Analysts Journal（简称”FAJ”） 是CFA协会（CFA Institute）主持的全球知名的投资管束领域专科期刊，该刊为季刊，每期发表论文4-8篇，在社会科学引文索引（SSCI）位列二区。

　　2021年底，CFA北京协会取得了CFA Institute期刊裁剪部留意授权，邀请了一批协会表里的巨匠和志愿者算作保举东谈主/审校东谈主，启动了FAJ研究恶果执行名堂。

　　【名堂职责】本名堂定位于将期刊的优秀研究恶果，尤其是对中国投资实践具有启发真谛的研究恶果，以中语保举和综述的时事发布在包括不限于“北京金融分析师协会”公众号的环球平台。名堂的保举东谈主均为在金融投资实践和学术研究方面具有一定教学和恶果的专科东谈主士，因而粗略较好的畴昔自海外商场的学术研究恶果进行中邦原土化改革，揭示出对我国金融商场的学习鉴戒真谛，汲取海外前沿学术恶果，使之融入我国金融业的高质料发展和双向对外盛开历史程度。

　　摈弃2024年12月初，本名堂还是发布研究恶果50期，触及钞票竖立表面前沿、ESG投资表面与实践、商场微不雅结构、组合构建计策、活动金融等多个领域，据不完全统计，这些研究恶果的全媒体累计阅读量高出123万东谈主次，公众号累计共享次数超4700次，包括中国东谈主民银行操纵的《金融时报》新媒体平台、财新网、新浪、凤凰等传统家数、清华金融驳倒、学说等学术类新媒体平台、中国保障资管业协会等行业组织公众号，齐对本名堂的研究恶果屡次照顾和转载。

　　2024年6月5日，CFA北京协会FAJ中语推介名堂算作“协会见效故事”被CFA Institute官方网站Connexions报谈，共享给全球160余家CFA地方协会。

海量资讯、精确解读，尽在新浪财经APP

包袱裁剪：石秀珍 SF183北京康利德建筑工程有限公司